Limit Hesapları ile Eğilmede Gerilmeler

Kesiti y eksenine göre simetrik olan şekildeki gibi bir kiriş, çeşitli yüklemelere maruz bırakılsın. Kesit alanının xy yüzlemi, kesitin boyuna z ekseni; kesit alanının kütle-alan merkezine x ve y merkezleri yerleştirilsin. Normal gerilmenin kirişte moment meydana getirmemesi için normal gerilmenin kesit merkezine uygulandığı düşünülüp, yapılacak işlemlerde ihmal edilsin.

 

Herhangi bir z konumunda sistemi dengede tutacak Mx, Nz, Vy sürekli veya parçalı sürekli fonksiyonları şekildeki yön kabulleriyle tanımlansın.

Sürekli olduğu bilinen bir z noktası için:

h>0 olmak üzere, denge koşulu olan A noktasına göre tork;

 

h<0 olmak üzere, denge koşulu olan A noktasına göre tork;

 

Bu takdirde:

Kiriş üzerinde bir kesit için, merkezden y kadar uzaklıkta bir bölge için;

Olmak üzere birim eleman  seçilsin.

 

Birim elemanın merkez noktasında göre oluşturduğu momentin x bileşenini temsil eder. Öyleyse tüm dA elemanları için:

 

Kiriş üzerinden bir kesit alınsın. Merkezden x,y kadar uzaklıkta bir nokta için etkiyen kuvvetler şekildeki gibi ve denge koşulu şöyledir:

Bu dengeyi sağlayacak, z+h konumunda bir F mevcuttur. Bu F kuvveti boyutları b ve h olan düzleme kayma gerilimi konumundadır.

O halde:

 

Öyleyse bu konumdaki kayma gerilmesi şöyledir:

 ile ilgili bir varsayım şöyle yapılsın. Z, x ve y den bağımsız bir değişken olsun.

Böylece  olduğu varsayılır. X e göre değişim olmadığından x, artık önemsenmeyecektir. Bu varsayım yerine konulup işlemler yapılırsa, (Kabul1 ve Eşitlik2’den hareketle)

Böylece:

Aynı varsayım kayma gerilmesi için düşünülürse (Kabul1 ve Eşitlik 3’den hareketle),

Eşitlik 1 göz önünde bulundurularak,

B burada y konumu için genişliği temsil eder.

Kesit y eksenine göre simetrik kabul edilmişti. Kabul edilmediği durumlar için:

İle hesaplanabilir.

 hesabına yönelik bir not:

İle de hesaplanabilir.